1. Вы уже знаете, что при изучении физических явлений или свойств физических объектов создают их модель. Поступим подобным образом и при изучении колебаний.

Существуюет системы, представляющие собой тело определенной массы, подвешенное на нити или стержне (например, качели, маятник часов, отвес). Моделью этих систем являетсяматематический маятник.

Математический маятник представляет собой тело, подвешенное на нити, размеры которого много меньше длины нити.

Считается, что нить нерастяжима и не имеет массы, вся масса такого маятника сосредоточена в подвешенном к нити тела. При этом тело можно считать материальной точкой.

2. Рассмотрим процесс колебаний маятника. На маятник действуют равные по модулю и противоположно направленные сила тяжести F_тяж и сила упругости F_упр (рис. 78, а). в положении равновесия (точка O равнодействующая этих сил равна нулю.

Выведем маятник из положения равновесия, отклонив вправо (рис. 78, б). В этом положении (точка A) силы тяжести и упругости будут направлены под углом друг к другу, и их равнодействующая F уже не будет равна нулю. Под действием силы F маятник начнет двигаться к положению равновесия. Вследствие инертности груз пройдет положение равновесия и отклонится от него в другую сторону. Дойдя до крайнего левого положения (точка B), маятник под действием равнодействующей сил тяжести и упругости начнет двигаться к положению равновесия. Пройдя его, он опять отклонится вправо. Процесс будет повторяться.

3. Математический маятник совершает колебания под действием внутренних сил: силы тяжести и силы упругости.

Колебания, происходящие под действием внутренних сил, называют свободными.

Выясним, как изменяюется смещение, скорость и ускорение при движении маятника.

Вспомним, что отклонение маятника от положения равновесия называется смещением x, а модуль наибольшего смещения — амплитудой колебаний A.

Анализируя процесс колебания маятника, можно сделать вывод, что это движение происходит под действием переменной силы. Это означает, что в процессе движения меняется не только скорость груза, но и его ускорение.

При движении маятника (см. рис. 78) его скорость в крайних положениях A и B равна нулю, а при прохождении через положение равновесия она максимальна. Равнодействующая сил тяжести и упругости максимальна в положениях A и B и равна нулю в положении равновесия. Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона ускорение маятника максимально в положениях A и Bи равно нулю в положении равновесия.

Следует иметь также в виду, что проекция скорости маятника на ось X имеет разный знак в зависимости от направления движения. При движении от точки A к точке O проекция скорости на эту ось отрицательна, а при движении от точки B к точке O — положительна. То же относится к проекциям силы F и ускорения на ось X: при движении от точки O к точке A они отрицательны, а при движении от точки A к точке O — положительны.

4. Пользуясь вторым законом Ньютона a = , запишем уравнение колебаний математического маятника. Для этого, используя рисунок 79, выразим силу F. При малых смещениях треугольники AOC и ADE подобны, как треугольники со взаим- но перпендикулярными сторонами. Соответственно,

= ; = .

Отсюда

F = mg; ma = mg; a = x.

Поскольку проекция ускорения и проекция смещения направлены в противоположные стороны получаем

F = –mx и a = –x,

т. е. сила, действующая в колебательной системе, прямо пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону и, соответственно, ускорение колебаний математического маятника прямо пропорционально его смещению.

5. Рассмотрим еще одну колебательную систему — пружинный маятник. Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине. В этой модели маятника мы пренебрегаем массой пружины по сравнению с массой груза, деформацией тела по сравнению с деформацией пружины. Кроме того, считаем, что деформация пружины подчиняется закону Гука: F_упр = –kDl. Рассмотрим движение такого маятника.

6. Пусть пружина не деформирована. Она находится в состоянии равновесия (рис. 80, а). При этом на груз в горизонтальном направлении силы не действуют.

Выведем груз из состояния равновесия, растянув пружину (рис. 80, б) и отпустим. На груз будет действовать сила упругости пружины F_упр, пропорциональная ее удлинению и направленная к положению равновесия. Под действием этой силы груз начнет двигаться к положению равновесия. Вследствии инертности он пройдет положение равновесия. Пружина сожмется, и в ней опять возникнет сила упругости. Дойдя до крайнего левого положения, груз остановится, а затем под действием силы упругости начнет двигаться к положению равновесия (рис. 80, в). Пройдя его, он отклонится вправо, и процесс повторится.

Пружинный маятник будет совершать свободные колебания относительно положения равновесия под действием переменной силы. Соответственно в процессе движения изменяются и скорость, и ускорение аналогично тому, как это происходит с математическим маятником.

7. Получим уравнение колебаний для пружинного маятника. Записав согласно второму закону Ньютона уравнение в проекциях на ось X и подставив выражение для силы упругости, получим:

F = ma; –kx = ma; a = –x.

Так же как и для математического маятника мы, получили, что колебания пружинного маятника происходят под действием силы, прямо пропорциональной смещению, и ускорение его колебаний также прямо пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону.

Колебания, происходящие под действием силы, прямо пропорциональной смещению и направленной в сторону, противоположную смещению, называют гармоническими.

Ускорение при гармонических колебаниях прямо пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону.

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют колебательным?

2. Что представляет собой математический маятник? Объясните как происходят колебания математического маятника.

3. Какие колебания называются свободными?

4. Что представляет собой пружинный маятник? Как происходят колебания пружинного маятника?

5. В каких точках (см. рис. 78) математический маятник имеет максимальные значения скорости и ускорения, а в каких — минимальные?

6. Какие колебания называют гармоническими?

Задание 22

1. Проанализируйте процесс колебаний математического маятника (см. рис. 79) и заполните таблицу 8, отметив в ней максимальные и минимальные значения величин, характеризующих колебания.

Таблица 8

 

Положение маятника	Смещение	Сила	Скорость	Ускорение
Точка O
Точка A
Точка B

2. Будет ли шарик совершать колебания, если он находится: на дне сферической чаши (рис. 81, а); на ее вершине (рис. 81, б)?

3^*. От чего зависит амплитуда свободных колебаний математического маятника?

4. Проанализируйте процесс колебаний пружинного маятника (см. рис. 80) и заполните таблицу 9, отметив в ней максимальные и минимальные значения величин, характеризующих колебания.

Таблица 9

 

Положение маятника	Смещение	Сила	Скорость	Ускорение
Точка O
Точка A
Точка B

5^*. Начертите график зависимости проекции силы, возвращающей маятник в положение равновесия, на ось OX от смещения и график зависимости проекции ускорения на ось OX от смещения.

 

Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении<<		>>Период колебаний математического и пружинного маятников